Miksi niitä kutsutaan arabialaisiksi numeroiksi, vaikka juuret ovat Intiassa?

Merkkejä 0–9 kutsutaan usein arabialaisiksi numeroiksi, koska arabiaksi kirjoittaneet oppineet selittivät ja välittivät intialaisiin numeroihin perustuvaa laskentaa. Nimi kertoo tiedon kulkureitin yhdestä vaiheesta, ei siitä, että yksi arabialainen matemaatikko olisi keksinyt kaikki kymmenen nykyistä merkkiä. Desimaalisen paikkajärjestelmän ja nollan keskeisiä juuria on Intiassa. St Andrewsin yliopiston MacTutor-katsaus kuvaa sekä numeroiden erilaisia muotoja että laskutapojen pitkää rinnakkaiseloa.

Espanjassa vuonna 976 kirjoitetussa käsikirjoituksessa esiintyy intialaisperäisiä numeromerkkejä jo ennen kuin pisalainen Leonardo, Fibonacci, kirjoitti Liber abaci -teoksensa vuonna 1202. Hän uudisti kirjaa vuonna 1228. Varhainen käsikirjoitus osoittaa, että merkkejä tunnettiin osassa Eurooppaa ennen Fibonaccia. Vaikutusvaltainen oppikirja taas auttoi uusia lukijoita oppimaan menetelmän. Kumpikaan todiste ei yksin osoita, että kaikki kauppiaat tai viranomaiset olisivat heti hylänneet aiemmat kirjoitus- ja laskutapansa. Merkin tunteminen, sillä laskeminen ja sen yleinen käyttö ovat eri asioita.

Kansikuva on alkuperäinen tekoälyavusteinen historiallinen rekonstruktio. Se ei ole valokuva säilyneestä käsikirjoituksesta, tunnistetusta työpajasta tai lähteissä dokumentoidusta tapaamisesta.

Mitä nimitys ”arabialaiset numerot” tarkoittaa?

Kellossa, kuitissa ja koulun taululla näemme tavallisesti merkit 0–9. Merkin ulkomuoto pitää kuitenkin erottaa sen arvosta ja säännöistä, joilla lukuja käsitellään. Luvussa 507 numero 5 tarkoittaa viittäsataa, nolla säilyttää tyhjän kymmenien paikan ja 7 tarkoittaa seitsemää ykköstä. Luvussa 57 sama merkki 5 tarkoittaa viittäkymmentä. Kun laskija lisää lukuja, hänen on lisäksi tiedettävä, miten ykkösten sarakkeesta siirretään kymmenen seuraavaan sarakkeeseen. Pelkän merkin näkeminen ei opeta tätä sääntöä.

Paikan arvoon perustuva lukujen kirjoitustapa kehittyi intialaisessa matemaattisessa perinteessä. Arabiaksi kirjoittaneet matemaatikot tutkivat, opettivat ja muokkasivat intialaisiin merkkeihin liittyviä menetelmiä. Myöhemmin osa tiedosta kulki latinankielisten tekstien ja opetuksen mukana Eurooppaan. Nimitys ”indoarabialaiset numerot” muistuttaa useammasta vaiheesta, mutta sekään ei tarkoita, että kaikki kopioijat Intiassa, Länsi-Aasiassa, Pohjois-Afrikassa ja Euroopassa piirsivät merkit samalla tavalla. MacTutorin selostus erottaa arabiankielisen maailman itäiset ja läntiset numeromuodot.

Kysymykseen ”kuka keksi arabialaiset numerot?” ei siis ole täsmällistä yhden nimen vastausta ilman lisäkysymystä. Tarkoitetaanko tietyn merkin muotoa, paikan arvon periaatetta, tyhjän kohdan merkintää, nollaa lukuna vai paperilla suoritettavaa laskumenetelmää? Yksi ajoitettu esine voi näyttää merkin, mutta se ei todista koko järjestelmän syntyä. Myös nykyinen painettu 0–9-sarja on myöhempien muotojen tulos; sitä ei voi sellaisenaan siirtää vuosisatojen takaiseen käsikirjoitukseen.

Miksi nolla on enemmän kuin tyhjän paikan merkki?

Luvun 507 nolla estää sekoittamasta lukua 57:ään. Se toimii paikan merkkinä. Laskun ”seitsemän miinus seitsemän” tulos nolla taas voi osallistua seuraavaan laskuun lukuna. Nämä tehtävät liittyvät toisiinsa, mutta vanhassa tekstissä oleva tyhjän paikan merkki ei vielä todista, että kirjoittaja tunsi kaikki nykyiset nollalla laskemisen säännöt. St Andrewsin nollan historia tekee tämän eron näkyväksi ja tarkastelee erilaisia varhaisia todisteita.

Paikkajärjestelmä mahdollistaa suurten lukujen kirjoittamisen pienellä merkkijoukolla. Nykyinen esimerkki 507 + 26 = 533 näyttää periaatteen: seitsemän ja kuusi tuottavat kolmetoista, joten kolme merkitään ykkösiin ja yksi kymmen siirretään eteenpäin. Kymmenissä nolla, kaksi ja siirretty yksi ovat yhteensä kolme kymmentä. Tämä on selitys lukijalle, ei väite siitä, että 800-luvun oppinut olisi käyttänyt täsmälleen nykyaikaista painoasua tai koulun laskuasettelua.

Joissakin vanhoissa laskutavoissa käytettiin pölyllä peitettyä alustaa, josta merkkejä voitiin pyyhkiä pois tai siirtää. Kaikki välivaiheet eivät välttämättä jääneet säilyvään käsikirjoitukseen. Toisaalta yksittäinen piste vanhassa tekstissä ei yksin paljasta kokonaisen nollateorian sisältöä. Tutkijan on katsottava, missä kohdassa lukua merkki on, mitä ympäröivä teksti sanoo ja millainen laskutoimitus esitetään. Vasta silloin eri aikojen merkkejä on mielekästä verrata.

Mitä Brahmagupta ja Gwaliorin piirtokirjoitus todistavat?

Brahmagupta käsitteli vuonna 628 valmistuneessa Brāhmasphuṭasiddhānta-teoksessaan nollaa sekä positiivisia ja negatiivisia lukuja koskevia laskusääntöjä. St Andrewsin Brahmagupta-elämäkerta kertoo niiden merkityksestä mutta huomauttaa, ettei hänen nollalla jakamista koskeva käsittelynsä vastaa nykyistä matematiikkaa. Tämä rajaus auttaa lukemaan teosta sen omassa historiallisessa ympäristössä. Säilyneen tekstin vuosiluku ei myöskään osoita, ettei paikan arvoa olisi ymmärretty sitä ennen.

Vuodelle 876 ajoitettu Gwaliorin piirtokirjoitus on toisenlainen todiste: nollaa esittävä merkki on säilyneessä, paikkaan ja aikaan liitettävässä esineessä. Esinettä voi tutkia erikseen, mutta sen ajoitus ei ole ”nollan syntymäpäivä”. Vanhempia esimerkkejä on voinut kadota, ja eri alueiden käyttöä on arvioitava niiden omien lähteiden perusteella. Ilmaus ”säilynyt ajoitettu esimerkki” on paljon rajatumpi ja paremmin perusteltu kuin ”ihmiskunnan ensimmäinen nolla”.

Matemaattinen teos voi selittää säännön sanoilla; kivinen piirtokirjoitus näyttää merkin tietyssä esineessä. Pois pyyhittävä laskualusta ei välttämättä säilytä laskun jokaista vaihetta. Lähteet vastaavat siten eri kysymyksiin. Tyhjän paikan merkitystä on tutkittava kokonaisen luvun sisällä, kun taas nollan käyttö laskutoimituksessa tarvitsee selkeän säännön tai esimerkin. Erojen sivuuttaminen tekee monimutkaisesta historiasta liian yksinkertaisen kertomuksen yhdestä keksijästä.

Miksi Bakhshalin käsikirjoituksen ajoitus on kiistanalainen?

Oxfordissa säilytettävä Bakhshalin käsikirjoitus käyttää pisteitä numeroiden merkitsemisessä. Bodleian Libraries julkaisi vuonna 2017 radiohiiliajoituksen tuloksia joistakin koivuntuohen kappaleista ja liitti niihin tulkinnan nollamerkin iästä. Laboratoriomittaus kertoo tärkeää tutkituista materiaaleista. Se ei kuitenkaan suoraan mittaa päivää, jolloin kirjoittaja kirjoitti tekstin tuohipinnalle, eikä yksin todista kaikkien käsikirjoituksen osien syntyneen samanaikaisesti. Vanhempaan materiaaliin on voitu kirjoittaa myöhemmin.

Kim Plofker ja hänen kanssakirjoittajansa esittivät tieteellisen vastineen. He kyseenalaistivat päätelmän, jossa vanhimman tuohen ikä siirretään koko tekstin iäksi, ja käsittelivät pisteiden roolia laskutehtävissä. Vastine ei kumoa materiaalista saatua mittaustulosta. Se osoittaa, että materiaalin ikää, kirjoituksen ikää ja merkin matemaattista tehtävää on arvioitava erikseen. Yksi mitattu vuosiluku ei ratkaise näitä kolmea kysymystä samalla kertaa.

Otsikko ”maailman vanhin nolla” vaatii tämän vuoksi tarkennuksen. Onko vanhin mitattu tuohen pala, sille kirjoitettu teksti, tyhjän paikan merkki vai sääntö, jossa nollaa käsitellään lukuna? Brahmaguptan teos, Gwaliorin esine ja Bakhshalin käsikirjoitus ovat erilaisia aineistoja. Niiden historiallinen arvo ei edellytä yhtä yhteistä ”keksimispäivää”. Tutkimuksellinen erimielisyys koskee nimenomaan sitä, mitä kukin aineisto voi osoittaa.

Mitä al-Khwarizmi teki aritmetiikassa ja algebrassa?

Al-Khwarizmi työskenteli 800-luvun abbasidien oppineessa ympäristössä. Hänen nimensä liittyy arabiankieliseen teokseen, joka käsitteli intialaisilla numeroilla laskemista; tämän aritmeettisen teoksen arabiankielistä alkuperäistekstiä ei ole säilynyt. Myöhemmät latinankieliset tekstit ovat tärkeitä välittymisen todisteita, mutta ne kulkivat kopioinnin ja muokkauksen kautta. MacTutorin yleiskatsaus mainitsee myös alkuperäisen arabiankielisen nimen epävarmuuden. Myöhäistä latinalaista lausetta ei siksi pidä esittää kadonneen teoksen sanatarkkana sitaatina.

Hänen algebraa käsittelevä teoksensa kuuluu toiseen tekstiperinteeseen kuin intialaisiin numeroihin perustuvan laskennan opetus. St Andrewsin al-Khwarizmi-elämäkerta käsittelee nämä alat erikseen. Nimen latinankieliset muodot liittyvät myöhemmin sanan ”algoritmi” historiaan. Se kertoo vaikutuksesta laskemisen opetukseen, mutta ei tarkoita, että hän olisi itse piirtänyt kaikkien nykyisten numeromerkkien muodot tai keksinyt jokaisen nykyisin algoritmiksi kutsutun menetelmän.

Suomenkielinen artikkeli Bagdadin perustamisesta vuonna 762 antaa kaupunkihistoriallisen taustan oppineiden myöhemmälle työlle; se ei ole kadonneen aritmetiikan teoksen kopio. Suomenkielinen idžazaa ja opetuksen välittymistä käsittelevä artikkeli selittää opettajan, oppilaan ja käsikirjoituksen suhdetta. Opetuslupa ei silti yksin todista juuri tietyn laskusäännön kulkeneen tiettyä reittiä Intiasta Eurooppaan. Tausta ja suora todistusaineisto on pidettävä erillään.

Oliko arabiankielisen maailman numeromerkeillä yksi muoto?

Ei ollut. Arabiaksi kirjoittaneen maailman itäisissä ja läntisissä osissa käytettiin intialaisperäisten numeroiden erilaisia muotoja. Läntisillä muodoilla on läheisempi historiallinen yhteys Länsi-Euroopassa tavallisiksi tulleisiin merkkeihin, kun taas itäisiä muotoja käytetään edelleen toisenlaisissa yhteyksissä. Paikan arvon sääntö voi pysyä samana, vaikka kopioija piirtää merkin eri tavoin. Nimitys ”arabialainen” ei merkitse yhtä muuttumatonta kirjasinta, jonka kaikki kirjoittajat olisivat tunteneet vuosisadasta toiseen.

British Museumin kokoelmaan kuuluva ottomaaniaikainen kompassi ja aurinkokello näyttää itäisiä numeromuotoja asteikossaan. Museo ajoittaa esineen noin vuosiin 1582–1583. Se on konkreettinen esimerkki merkkien myöhemmästä käytöstä. Se ei kuitenkaan osoita, missä merkit ensimmäisen kerran muotoiltiin 800-luvulla. Esineen päiväys, tehtävä ja alkuperä koskevat ensin juuri sitä esinettä; sen perusteella ei voi kirjoittaa koko numerohistoriaa.

Verkossa kiertää myös piirros, jonka mukaan nykyisten numeroiden kulmien määrä olisi alun perin vastannut niiden arvoa. Tässä käytetyt ajoitetut käsikirjoitukset ja esineet eivät muodosta todistusketjua tällaiselle kaaviolle. Kuka tahansa voi piirtää myöhemmin merkin, jonka kulmien määrä sopii valittuun lukuun. Se ei kerro, miten menneisyyden kirjoittajat piirsivät merkkinsä. Muotojen historiaa tutkittaessa tarvitaan peräkkäisiä, ajoitettuja ja paikannettuja esimerkkejä, ei pelkkää havainnollista kuvaa.

Tunnettiinko numerot Euroopassa ennen Fibonaccia?

Kyllä. St Andrewsin historiallinen katsaus mainitsee Espanjassa vuonna 976 kirjoitetun Codex Vigilanus -käsikirjoituksen varhaisena säilyneenä eurooppalaisena todisteena intialaisperäisistä numeroista. Yksi käsikirjoitus osoittaa, että joku tietyssä paikassa ja ajassa tunsi merkit. Se ei todista jokaisen koulun, verohallinnon tai kauppiaan laskeneen samalla tavalla. Käännökset, opetus ja Välimeren alueen yhteydet veivät tietoa eteenpäin eri aikoina ja eri reittejä.

Pisalainen Leonardo eli Fibonacci käsitteli numeroita ja monia käytännöllisiä laskutehtäviä Liber abaci -teoksessa vuonna 1202 ja uudisti teosta vuonna 1228. St Andrewsin Fibonacci-elämäkerta kuvaa hänen oppimistaan ja esimerkkiensä käytännöllistä luonnetta. Hän oli vaikutusvaltainen kirjoittaja ja opettaja. Vuoden 976 todistetta vasten häntä ei kuitenkaan voi kutsua ensimmäiseksi eurooppalaiseksi, joka näki nämä merkit. Kirjan vaikutus ja kaikkien arkisten asiakirjojen muuttuminen ovat myös eri prosesseja.

Vanhat ja uudet kirjoitustavat elivät pitkään rinnakkain. Islannin yliopiston tutkimus vanhanorjankielisestä Algorismus-käsikirjoituksesta tarkastelee paikan arvon opettamista. 1300-luvun GKS 1812 4to -käsikirjoituksessa monet luvut ovat sanoina tai roomalaisina numeroina, vaikka intialaisarabialaisia merkkejä esiintyy muualla. Uuden menetelmän tunteminen ei siis pakota muuttamaan jokaista lukua heti uuteen kirjoitusasuun. Käsikirjoitus ei myöskään todista kopioijan oppineen juuri Fibonaccilta.

Tarkalla laskennalla oli monia käyttötarkoituksia. Suomenkielinen al-Battanin havaintoja ja trigonometriaa käsittelevä artikkeli antaa yhden historiallisen toimintaympäristön, mutta ei osoita yksittäistä tapahtumaa, joka toi numerot Eurooppaan. Nykyinen suomenkielinen ramadanin 2027 ajankohtien suunnitteluopas tarjoaa vain vertauksen: ennalta laskettu päivä ei ole sama asia kuin paikallisen kuun havainnon jälkeen tehty päätös. Vertaus auttaa erottamaan laskennan havainnosta nykyään; se ei ole keskiaikainen lähde.

Kiellettiinkö nolla kaikkialla Euroopassa ”paholaismaisena”?

Suosittu kertomus väittää, että kirkot tai viranomaiset olisivat kieltäneet nollan kaikkialla Euroopassa, koska sitä pidettiin paholaisen merkkinä. Matematiikan historioitsija C. Philipp E. Nothaft tutki kertomuksen lähteitä eikä löytänyt luotettavaa perustaa väitteelle tällaisesta yleisestä uskonnollisesta kiellosta. Tutkimus rajaa pois hyvin laajan väitteen. Se ei väitä, ettei missään yksittäisessä kaupungissa olisi voitu säännellä rahasummien merkintää tietyissä asiakirjoissa.

Jos jossakin kaupungissa kerrotaan annetun ohje numeroiden kirjoittamisesta petosten vähentämiseksi, tarvitaan kyseinen asiakirja, paikka, antamisajankohta ja tieto siitä, keitä se koski. Paikallista sääntöä ei saa muuttaa koko Euroopan kirkon päätökseksi. Muutosnopeuteen vaikuttivat myös kirjurien tavat, käytettävät materiaalit, opetus ja laskuvälineet. Yhden syyn osoittaminen edellyttää kyseisen ympäristön lähteitä; helposti muistettava tarina ei korvaa niitä.

Lyhyesti: paikkajärjestelmä ja nolla kehittyivät tärkeiltä osin Intiassa, arabiaksi kirjoittaneet oppineet välittivät ja selittivät menetelmiä, ja eurooppalaiset lukijat omaksuivat niitä vähitellen monista teksteistä ja kontakteista. Kun vastaan tulee sana ”ensimmäinen” tai ”keksijä”, kannattaa kysyä, mistä todisteesta puhutaan: tuohesta, kivestä, laskusäännöstä, latinankielisestä käsikirjoituksesta, merkin muodosta vai arkikäytöstä. Tarkka kysymys tuottaa paremman vastauksen kuin yksi nimi ja yksi vuosiluku.

Lähteet

• St Andrewsin yliopisto, ”The Arabic numeral system” — rinnakkaiset laskutavat, kadonnut arabiankielinen teos, vuoden 976 käsikirjoitus ja tiedon välittyminen.
• St Andrewsin yliopisto, ”Zero” — tyhjän paikan merkin ja lukuna käsitellyn nollan ero sekä Gwaliorin piirtokirjoitus.
• St Andrewsin yliopisto, Brahmaguptan elämäkerta — vuoden 628 teos, laskusäännöt ja nollalla jakamisen historiallinen rajaus.
• Bodleian Libraries, Bakhshalia koskeva vuoden 2017 tiedote — koivuntuohen radiohiiliajoitus ja kirjaston tuolloinen tulkinta.
• Plofker ja muut, History of Science in South Asia — arvio materiaalin, tekstin ja pisteiden matemaattisen tehtävän erilaisista ajoituksista.
• St Andrewsin yliopisto, al-Khwarizmin elämäkerta — algebran erottaminen intialaisperäisen laskennan välittämisestä.
• British Museum, ottomaaniaikainen kompassi ja aurinkokello — vuosien 1582–1583 esine, jossa on itäisiä numeromuotoja.
• St Andrewsin yliopisto, Fibonaccin elämäkerta — Liber abaci, vuoden 1228 uudistus ja kirjoittajan oppimisympäristö.
• Bjarnadóttir ja Halldórsson, vanhanorjankielisen Algorismus-käsikirjoituksen tutkimus — paikkajärjestelmän opetus monien lukumerkintöjen rinnalla.
• Nothaft, Oxfordin tutkimusarkisto — yleiseurooppalaisen ”paholaismaisen nollan” kiellon lähdekritiikki.