Γιατί λέγονται «αραβικοί αριθμοί» αν έχουν σημαντικές ρίζες στην Ινδία;

Τα σύμβολα 0–9 λέγονται συχνά «αραβικά ψηφία», επειδή λόγιοι που έγραφαν στα αραβικά εξήγησαν και μετέδωσαν μεθόδους υπολογισμού βασισμένες σε ψηφία ινδικής προέλευσης. Η ονομασία περιγράφει έναν κρίσιμο σταθμό της μετάδοσης, όχι την επινόηση και των δέκα σημερινών συμβόλων από έναν Άραβα μαθηματικό. Η δεκαδική αξία θέσης και η χρήση του μηδενός έχουν σημαντικές ρίζες στην Ινδία. Η ιστορική επισκόπηση του Πανεπιστημίου St Andrews ξεχωρίζει την προέλευση της μεθόδου από τις ποικίλες μορφές των σημείων και την αργή διάδοσή τους.

Ένα χειρόγραφο που αντιγράφηκε στην Ισπανία το 976 περιέχει ψηφία με ινδική ιστορία, πριν ο Λεονάρντο της Πίζας, γνωστός ως Φιμπονάτσι, γράψει το Liber abaci το 1202. Αναθεώρησε το βιβλίο το 1228. Το παλαιότερο χειρόγραφο δείχνει ότι ορισμένοι Ευρωπαίοι γνώριζαν τα σημεία πριν από εκείνον. Το βιβλίο του βοήθησε περισσότερους αναγνώστες να μάθουν και να εφαρμόσουν τις μεθόδους. Κανένα από τα δύο τεκμήρια δεν αποδεικνύει ότι όλοι οι έμποροι και οι γραφείς εγκατέλειψαν αμέσως τις προηγούμενες συνήθειές τους. Άλλο είναι να αναγνωρίζεις ένα ψηφίο, άλλο να υπολογίζεις με αυτό και άλλο να έχει γενικευθεί η χρήση του.

Η εικόνα εξωφύλλου είναι πρωτότυπη ιστορική ανακατασκευή με βοήθεια ΤΝ. Δεν είναι φωτογραφία σωζόμενου χειρογράφου, αναγνωρισμένου εργαστηρίου ή συνάντησης καταγεγραμμένης στις πηγές.

Τι σημαίνει πραγματικά η ονομασία «αραβικά ψηφία»;

Στην καθημερινή ζωή βλέπουμε τα σημεία 0–9 σε ρολόγια, αποδείξεις και σχολικούς πίνακες. Πρέπει όμως να ξεχωρίζουμε το σχήμα ενός σημείου από την αριθμητική αξία του και από τους κανόνες της πράξης. Στον αριθμό 507, το 5 σημαίνει πεντακόσια, το 0 κρατά τη θέση των δεκάδων και το 7 σημαίνει επτά μονάδες. Στον αριθμό 57, το ίδιο 5 σημαίνει πενήντα. Για να προσθέσουμε αριθμούς πρέπει ακόμη να ξέρουμε πότε μεταφέρουμε μία δεκάδα στην επόμενη στήλη. Η αναγνώριση της μορφής ενός ψηφίου δεν διδάσκει από μόνη της αυτόν τον κανόνα.

Η σημειογραφία με αξία θέσης αναπτύχθηκε μέσα σε ινδικές μαθηματικές παραδόσεις. Μαθηματικοί που έγραφαν στα αραβικά μελέτησαν, δίδαξαν και προσάρμοσαν μεθόδους βασισμένες στα ινδικά ψηφία. Αργότερα, μέρος αυτής της γνώσης πέρασε στην Ευρώπη μέσα από λατινικά κείμενα και διδασκαλία. Ο όρος «ινδοαραβικά ψηφία» θυμίζει περισσότερους κρίκους της αλυσίδας, αλλά δεν σημαίνει ότι κάθε αντιγραφέας στην Ινδία, τη Δυτική Ασία, τη Βόρεια Αφρική και την Ευρώπη σχεδίαζε τα σημεία όμοια. Το MacTutor περιγράφει διαφορές ανάμεσα σε ανατολικές και δυτικές μορφές του αραβόγλωσσου κόσμου.

Επομένως, η ερώτηση «ποιος επινόησε τους αραβικούς αριθμούς;» χρειάζεται πρώτα ακριβέστερο αντικείμενο. Μιλάμε για το σχήμα ενός συγκεκριμένου ψηφίου, για την αρχή της αξίας θέσης, για το σύμβολο μιας κενής θέσης, για το μηδέν ως αριθμό ή για μια γραπτή μέθοδο υπολογισμού; Ένα χρονολογημένο αντικείμενο μπορεί να δείξει ένα σύμβολο, όχι ολόκληρο σύστημα σε στιγμή γέννησης. Ούτε η σημερινή τυπωμένη σειρά 0–9 αποδεικνύει ότι σχεδιάστηκε σε μια ημέρα από ένα πρόσωπο.

Πώς διαφέρει το μηδέν από ένα σημάδι κενής θέσης;

Το 0 στον αριθμό 507 εμποδίζει να τον μπερδέψουμε με το 57: κρατά τη θέση των δεκάδων. Στην πράξη «επτά μείον επτά», το μηδέν είναι αποτέλεσμα που μπορεί να συμμετάσχει σε επόμενο υπολογισμό. Οι δύο λειτουργίες συνδέονται, αλλά ένα παλιό σημάδι κενής θέσης δεν αποδεικνύει ότι ο γραφέας γνώριζε κάθε σύγχρονο κανόνα για πράξεις με το μηδέν. Η ιστορία του μηδενός από το St Andrews εξηγεί αυτή τη διάκριση και παρουσιάζει διαφορετικά είδη πρώιμων τεκμηρίων.

Η αξία θέσης επιτρέπει να γράφονται πολλοί αριθμοί με λίγα μόνο σύμβολα. Ένα σύγχρονο παράδειγμα είναι 507 + 26 = 533. Το επτά και το έξι δίνουν δεκατρία: γράφουμε τρεις μονάδες και μεταφέρουμε μία δεκάδα. Στη στήλη των δεκάδων, το μηδέν, το δύο και η μία δεκάδα που μεταφέρθηκε δίνουν τρεις δεκάδες. Το παράδειγμα εξηγεί την αρχή για τον σημερινό αναγνώστη. Δεν ισχυρίζεται ότι ένας μαθηματικός του ένατου αιώνα χρησιμοποιούσε ακριβώς τα σημερινά τυπωμένα ψηφία ή την ίδια διάταξη στο χαρτί.

Ορισμένοι παλαιότεροι υπολογισμοί γίνονταν σε επιφάνειες σκεπασμένες με σκόνη, όπου σημεία μπορούσαν να σβηστούν και να μετακινηθούν. Δεν απαιτούμε να έχουν σωθεί όλα τα ενδιάμεσα βήματα. Αντίστροφα, μια μεμονωμένη τελεία σε χειρόγραφο δεν αρκεί για να ανασυνθέσουμε ολόκληρη θεωρία του μηδενός. Πρέπει να δούμε τη θέση του σημείου μέσα στον αριθμό, το γειτονικό κείμενο και την πράξη που πραγματικά περιγράφεται. Μόνο έτσι μπορούν να συγκριθούν τεκμήρια διαφορετικών περιόδων χωρίς να τους αποδοθεί παραπάνω νόημα.

Τι μας λένε ο Μπραχμαγκούπτα και η επιγραφή του Γκουαλιόρ;

Ο Μπραχμαγκούπτα έγραψε το Brāhmasphuṭasiddhānta το 628 και συζήτησε κανόνες για το μηδέν, τους θετικούς και τους αρνητικούς αριθμούς. Η βιογραφία του στο St Andrews εξηγεί τη σημασία των κανόνων, σημειώνοντας επίσης ότι ο τρόπος με τον οποίο χειρίστηκε τη διαίρεση με μηδέν δεν ταυτίζεται με τα σημερινά μαθηματικά. Αυτό το όριο μας βοηθά να διαβάσουμε το έργο στο ιστορικό του περιβάλλον, όχι να μειώσουμε τη συμβολή του. Η ημερομηνία ενός σωζόμενου κειμένου δεν αποδεικνύει ότι κανείς δεν είχε καταλάβει την αξία θέσης παλαιότερα.

Η επιγραφή του Γκουαλιόρ, που χρονολογείται στο 876, προσφέρει άλλο είδος τεκμηρίου: ένα σημάδι για το μηδέν εμφανίζεται σε σωζόμενο αντικείμενο με τόπο και χρόνο. Το αντικείμενο μπορεί να μελετηθεί, όμως το έτος της χάραξης δεν είναι τα «γενέθλια του μηδενός». Παλαιότερα παραδείγματα μπορεί να χάθηκαν, ενώ η χρήση σε άλλες περιοχές απαιτεί πηγές από εκείνες τις περιοχές. Η φράση «σωζόμενο χρονολογημένο παράδειγμα» είναι πολύ στενότερη από τον ισχυρισμό «η πρώτη χρήση του μηδενός από την ανθρωπότητα».

Ένα μαθηματικό βιβλίο μπορεί να εξηγήσει έναν κανόνα με λέξεις. Μια πέτρινη επιγραφή δείχνει ένα σημάδι σε συγκεκριμένο υλικό. Ένας πίνακας που σβήνεται μπορεί να μη διατηρήσει κάθε στάδιο της πράξης. Κάθε πηγή απαντά σε διαφορετικό ερώτημα. Για να κρίνουμε αν ένα σύμβολο κρατά κενή θέση, πρέπει να το δούμε μέσα σε ολόκληρο αριθμό. Για να εξετάσουμε το μηδέν ως μέρος υπολογισμού, χρειαζόμαστε σαφή κανόνα ή παράδειγμα πράξης. Η συγχώνευση όλων σε έναν απλό «εφευρέτη» χάνει αυτές τις κρίσιμες διαφορές.

Γιατί αμφισβητείται η ηλικία του χειρογράφου Μπαχσάλι;

Το χειρόγραφο Μπαχσάλι, που φυλάσσεται στην Οξφόρδη, περιέχει τελείες στον τρόπο γραφής αριθμών. Οι Bodleian Libraries ανακοίνωσαν το 2017 αποτελέσματα ραδιοχρονολόγησης για τμήματα φλοιού σημύδας και τα συνέδεσαν με ερμηνεία για την ηλικία του σημείου του μηδενός. Η εργαστηριακή μέτρηση δίνει σημαντικές πληροφορίες για το υλικό που εξετάστηκε. Δεν χρονολογεί άμεσα τη στιγμή που γράφτηκαν τα γράμματα πάνω στον φλοιό, ούτε αποδεικνύει από μόνη της ότι όλα τα φύλλα γράφτηκαν ταυτόχρονα. Ένας παλιός φλοιός μπορεί να δεχθεί γραφή αργότερα.

Η Kim Plofker και τέσσερις συνάδελφοί της δημοσίευσαν ακαδημαϊκή απάντηση. Αμφισβήτησαν τη μεταφορά της ηλικίας του αρχαιότερου κομματιού φλοιού σε ολόκληρο το κείμενο και εξέτασαν τον ρόλο των τελειών στις πράξεις. Η κριτική δεν εξαφανίζει τη μέτρηση του υλικού. Δείχνει όμως ότι η ηλικία του υλικού, η ηλικία της γραφής και η μαθηματική λειτουργία του σημείου πρέπει να εξετάζονται χωριστά. Ένας αριθμός από το εργαστήριο δεν επιλύει αυτομάτως και τα τρία ερωτήματα.

Γι' αυτό ο τίτλος «το αρχαιότερο μηδέν στον κόσμο» χρειάζεται διευκρίνιση. Εννοεί το αρχαιότερο μετρημένο κομμάτι φλοιού, το γραμμένο κείμενο, το σύμβολο μιας κενής θέσης ή έναν κανόνα που αντιμετωπίζει το μηδέν ως αριθμό; Το έργο του Μπραχμαγκούπτα, η επιγραφή του Γκουαλιόρ και το χειρόγραφο Μπαχσάλι είναι διαφορετικά τεκμήρια. Δεν χρειάζεται να συναγωνίζονται για μία μοναδική «ημερομηνία εφεύρεσης» ώστε να έχουν αξία για την ιστορία των μαθηματικών.

Ποιος ήταν ο ρόλος του αλ-Χουαρίζμι στην αριθμητική και την άλγεβρα;

Ο αλ-Χουαρίζμι εργάστηκε στο αββασιδικό πνευματικό περιβάλλον του ένατου αιώνα. Το όνομά του συνδέεται με ένα αραβόγλωσσο έργο για υπολογισμούς με ινδικά ψηφία· το αραβικό πρωτότυπο αυτού του αριθμητικού έργου δεν σώζεται. Μεταγενέστερα λατινικά κείμενα είναι σημαντικά τεκμήρια για τη μετάδοση, αλλά έχουν περάσει από αντιγραφή και αλλαγές. Η επισκόπηση του MacTutor σημειώνει ακόμη αβεβαιότητα για τον αρχικό αραβικό τίτλο. Μπορούμε να μιλάμε για την επιρροή του χωρίς να παρουσιάζουμε μια όψιμη λατινική φράση ως αυτολεξεί παράθεμα από χαμένο βιβλίο.

Το έργο του για την άλγεβρα ανήκει σε διαφορετική κειμενική παράδοση από το κείμενο για υπολογισμούς με ινδικά ψηφία. Η βιογραφία του αλ-Χουαρίζμι στο St Andrews συζητά τις δύο περιοχές χωριστά. Οι λατινικές μορφές του ονόματός του σχετίζονται αργότερα με την ιστορία της λέξης «αλγόριθμος». Αυτό δείχνει την επιρροή του στη διδασκαλία του υπολογισμού. Δεν σημαίνει ότι σχεδίασε ο ίδιος κάθε σημερινή μορφή ψηφίου ή επινόησε κάθε μέθοδο που σήμερα αποκαλείται αλγόριθμος.

Το ελληνικό άρθρο για την ίδρυση της Βαγδάτης το 762 προσφέρει ιστορικό πλαίσιο για την πόλη όπου εργάστηκαν αργότερα λόγιοι, όχι αντίγραφο του χαμένου βιβλίου αριθμητικής. Το ελληνικό άρθρο για την ιτζάζα και τη μετάδοση γνώσης φωτίζει τη σχέση δασκάλου, μαθητή και χειρογράφου. Μια άδεια διδασκαλίας δεν αποδεικνύει από μόνη της την ακριβή διαδρομή ενός συγκεκριμένου αριθμητικού κανόνα από την Ινδία στην Ευρώπη. Το γενικό πλαίσιο και το άμεσο τεκμήριο πρέπει να διακρίνονται.

Είχαν τα ψηφία την ίδια μορφή σε όλες τις αραβόφωνες περιοχές;

Όχι. Στα ανατολικά και δυτικά μέρη του αραβόγλωσσου κόσμου εμφανίστηκαν διαφορετικές μορφές ψηφίων ινδικής προέλευσης. Οι δυτικές μορφές έχουν στενότερη ιστορική σχέση με τα σημεία που έγιναν οικεία στη Δυτική Ευρώπη, ενώ ανατολικές μορφές χρησιμοποιήθηκαν σε άλλα περιβάλλοντα και συνεχίζουν να εμφανίζονται σήμερα. Η αξία θέσης μπορεί να μένει ίδια, ακόμη κι όταν ο αντιγραφέας σχεδιάζει αλλιώς το σημάδι. Άρα «αραβικά» δεν είναι το όνομα μιας αμετάβλητης γραμματοσειράς, κοινής για όλους τους αιώνες.

Μια οθωμανική πυξίδα με ηλιακό ρολόι στο British Museum φέρει ανατολικές μορφές αριθμών στην κλίμακά της. Το μουσείο χρονολογεί το αντικείμενο περίπου στα έτη 1582–1583. Πρόκειται για χειροπιαστό παράδειγμα μεταγενέστερης χρήσης, όχι για άμεση απόδειξη του τόπου όπου πρωτοσχεδιάστηκαν τα σημεία τον ένατο αιώνα. Η ημερομηνία, η λειτουργία και η προέλευση ενός αντικειμένου πρέπει να συνδέονται πρώτα με το ίδιο το αντικείμενο.

Στο διαδίκτυο κυκλοφορεί και ένα σχήμα που ισχυρίζεται ότι κάθε σύγχρονο ψηφίο είχε αρχικά τόσες γωνίες όση η αξία του. Τα χρονολογημένα χειρόγραφα και αντικείμενα που παρατίθενται εδώ δεν αποτελούν αλυσίδα αποδείξεων για αυτό το σχήμα. Κάποιος μπορεί να επανασχεδιάσει εκ των υστέρων ένα σημάδι ώστε οι γωνίες του να ταιριάξουν με τον αριθμό. Αυτό δεν δείχνει πώς το έγραφαν παλιοί γραφείς. Η ιστορία των σχημάτων απαιτεί διαδοχικά παραδείγματα με χρονολογία και προέλευση, όχι μόνο μια ευκολομνημόνευτη εικόνα.

Γνώριζαν οι Ευρωπαίοι τα ψηφία πριν από τον Φιμπονάτσι;

Ναι. Η ιστορική επισκόπηση του St Andrews αναφέρει τον Codex Vigilanus, αντιγραμμένο στην Ισπανία το 976, ως πρώιμο σωζόμενο ευρωπαϊκό τεκμήριο για ψηφία ινδικής προέλευσης. Ένα χειρόγραφο δείχνει ότι άνθρωποι σε συγκεκριμένο τόπο και χρόνο γνώριζαν αυτά τα σημεία. Δεν αποδεικνύει ότι κάθε σχολείο, φορολογική αρχή ή έμπορος στην Ευρώπη υπολόγιζε με τον ίδιο τρόπο. Μεταφράσεις, διδασκαλία και μεσογειακές επαφές διεύρυναν τη γνώση σε διαφορετικούς χρόνους και διαδρομές.

Ο Λεονάρντο της Πίζας, ο Φιμπονάτσι, παρουσίασε ψηφία και πολλά πρακτικά προβλήματα υπολογισμού στο Liber abaci το 1202 και αναθεώρησε το βιβλίο το 1228. Η βιογραφία του στο St Andrews περιγράφει τη μάθησή του και το πρακτικό περιεχόμενο των παραδειγμάτων. Υπήρξε σημαντικός συγγραφέας και δάσκαλος, αλλά το τεκμήριο του 976 δεν επιτρέπει να τον αποκαλέσουμε τον πρώτο Ευρωπαίο που είδε τα ψηφία. Ένα βιβλίο με επιρροή και η αλλαγή κάθε καθημερινού εγγράφου είναι επίσης δύο διαφορετικές διαδικασίες.

Παλαιοί και νέοι τρόποι γραφής συνυπήρξαν επί μακρόν. Μια μελέτη για το παλαιοσκανδιναβικό χειρόγραφο Algorismus στο Πανεπιστήμιο της Ισλανδίας εξετάζει τη διδασκαλία της αξίας θέσης. Στο χειρόγραφο GKS 1812 4to του 14ου αιώνα πολλοί αριθμοί γράφονται με λέξεις ή ρωμαϊκά ψηφία, παρότι ινδοαραβικά ψηφία υπάρχουν και αλλού. Το να ξέρει κανείς μια νέα μέθοδο δεν απαιτεί να αλλάξει αμέσως κάθε γραπτό αριθμό. Το χειρόγραφο επίσης δεν αποδεικνύει ότι ο γραφέας έμαθε απευθείας από τον Φιμπονάτσι.

Οι ακριβείς υπολογισμοί είχαν πολλούς σκοπούς. Το ελληνικό άρθρο για τις παρατηρήσεις και την τριγωνομετρία του αλ-Μπατάνι δίνει πλαίσιο για μια τέτοια εργασία, αλλά δεν τεκμηριώνει κάποιο συγκεκριμένο συμβάν που έφερε τα ψηφία στην Ευρώπη. Ο σημερινός ελληνικός οδηγός για τον σχεδιασμό ημερομηνιών του Ραμαζανιού 2027 δίνει μόνο μια αναλογία: μια εκ των προτέρων υπολογισμένη ημερομηνία δεν ταυτίζεται με την απόφαση μετά από τοπική παρατήρηση της σελήνης. Η σύγκριση εξηγεί τη διαφορά υπολογισμού και παρατήρησης σήμερα, δεν είναι μεσαιωνική πηγή.

Απαγορεύτηκε το μηδέν σε όλη την Ευρώπη ως «διαβολικό»;

Μια δημοφιλής ιστορία λέει ότι οι εκκλησίες ή οι αρχές απαγόρευσαν το μηδέν σε όλη την Ευρώπη επειδή το θεωρούσαν σημάδι του διαβόλου. Ο ιστορικός των μαθηματικών C. Philipp E. Nothaft εξέτασε τις πηγές της ιστορίας και δεν βρήκε αξιόπιστη βάση για την ιδέα μιας τέτοιας καθολικής θρησκευτικής απαγόρευσης. Η έρευνα απορρίπτει έναν πολύ ευρύ ισχυρισμό. Δεν δηλώνει ότι καμία πόλη δεν θέσπισε ποτέ ειδικούς κανόνες για τη γραφή ποσών σε συγκεκριμένα έγγραφα.

Αν λέγεται ότι κάποια πόλη ρύθμισε τον τρόπο γραφής ποσών για να μειώσει τον κίνδυνο αλλοίωσης, χρειαζόμαστε το ίδιο το κείμενο, τον τόπο, την ημερομηνία και όσους υποχρέωνε. Ένας τοπικός κανόνας δεν πρέπει να παρουσιάζεται ως απόφαση όλων των ευρωπαϊκών εκκλησιών. Ο ρυθμός της αλλαγής εξαρτήθηκε και από συνήθειες γραφέων, υλικά, εκπαίδευση και εργαλεία υπολογισμού. Για να υποστηριχθεί μια συγκεκριμένη αιτία δισταγμού, χρειάζονται αρχεία από το αντίστοιχο περιβάλλον και όχι μόνο μια εύκολη αφήγηση.

Η σύντομη απάντηση είναι ότι η αξία θέσης και το μηδέν αναπτύχθηκαν σημαντικά στην Ινδία, λόγιοι που έγραφαν στα αραβικά εξήγησαν και μετέδωσαν μεθόδους, και Ευρωπαίοι αναγνώστες τις έμαθαν σταδιακά μέσω πολλών κειμένων και επαφών. Κάθε φορά που ακούμε «πρώτο» ή «εφευρέτη», αξίζει να ρωτούμε ποιο τεκμήριο εννοούμε: φλοιό, πέτρα, κανόνα υπολογισμού, λατινικό χειρόγραφο, σχήμα συμβόλου ή καθημερινή χρήση; Έτσι προκύπτει ακριβέστερη ιστορία από ό,τι με ένα μόνο όνομα και μια μόνο ημερομηνία.

Πηγές

• Πανεπιστήμιο St Andrews, «The Arabic numeral system» — παράλληλες μέθοδοι, χαμένο αραβικό έργο, τεκμήριο του 976 και μετάδοση της γνώσης.
• Πανεπιστήμιο St Andrews, «Zero» — διαφορά σημείου κενής θέσης και μηδενός ως αριθμού, μαζί με την επιγραφή Γκουαλιόρ.
• Πανεπιστήμιο St Andrews, βιογραφία Μπραχμαγκούπτα — έργο του 628, κανόνες και ιστορικό όριο της διαίρεσης με μηδέν.
• Bodleian Libraries, ανακοίνωση του 2017 για το Μπαχσάλι — μέτρηση του φλοιού σημύδας και η τότε ερμηνεία της βιβλιοθήκης.
• Plofker και συνεργάτες, History of Science in South Asia — κριτική στη μεταφορά της ηλικίας του υλικού στο κείμενο και ανάλυση των τελειών.
• Πανεπιστήμιο St Andrews, βιογραφία αλ-Χουαρίζμι — διάκριση της άλγεβρας από τη μετάδοση ινδικών μεθόδων αριθμητικής.
• British Museum, οθωμανική πυξίδα και ηλιακό ρολόι — αντικείμενο 1582–1583 με ανατολικές μορφές ψηφίων.
• Πανεπιστήμιο St Andrews, βιογραφία Φιμπονάτσι — Liber abaci, αναθεώρηση του 1228 και πορεία μάθησης του συγγραφέα.
• Bjarnadóttir και Halldórsson, μελέτη του παλαιοσκανδιναβικού Algorismus — διδασκαλία της αξίας θέσης μαζί με άλλους τρόπους γραφής αριθμών.
• Nothaft, ερευνητικό αποθετήριο της Οξφόρδης — έλεγχος της αφήγησης για γενική απαγόρευση του «διαβολικού μηδενός».